Wie lang ist die Küste von Großbritannien?

In den 1960er Jahren stellte der Mathematiker Benoît Mandelbrot eine seltsame Frage: "Wie lang ist eigentlich die Küste einer Insel?"

Die Antwort verblüffte alle: Sie ist unendlich lang.

  • Misst man mit einem groben Lineal (100 km), überspringt man viele Buchten.

  • Misst man genauer (1 km), kommen die Buchten dazu -> die Strecke wird länger.

  • Misst man jeden Felsen, jedes Sandkorn, jedes Atom, wird die Strecke immer länger, ohne jemals aufzuhören.

    Mandelbrot nannte solche rauen, unregelmäßigen Formen Fraktale.

Das Apfelmännchen

Das berühmteste Fraktal ist die Mandelbrot-Menge. Sie entsteht aus einer simplen Iteration (Wiederholung) mit komplexen Zahlen:

 

$$z_{n+1} = z_n^2 + c$$

 

Man nimmt eine Zahl, quadriert sie, addiert eine Konstante und füttert das Ergebnis wieder in die Formel.

  • Wenn das Ergebnis explodiert und riesig wird, gehört der Punkt nicht zur Menge (man färbt ihn bunt).

  • Wenn das Ergebnis klein und stabil bleibt, gehört der Punkt zur Menge (man färbt ihn schwarz).

Selbstähnlichkeit: Die Natur kopiert sich

Das Unglaubliche passiert, wenn man in das Bild hineinzoomt. An den Rändern der schwarzen Figur findet man unendlich viele kleine Kopien der Ursprungsfigur. Egal wie tief man zoomt – millionenfach, milliardenfach – es tauchen immer neue, komplexe Muster auf, die sich wiederholen.

Die Natur liebt dieses Prinzip:

  • Ein Farnblatt besteht aus vielen kleinen Blättern, die aussehen wie das große Blatt.

  • Ein Blumenkohl-Röschen sieht aus wie der ganze Blumenkohl.

  • Unsere Lunge verzweigt sich fraktal, um auf kleinem Raum eine riesige Oberfläche für Sauerstoff zu bieten.

Kunst aus dem Rechner

Vor dem Computerzeitalter konnte niemand diese Menge sehen, weil man Millionen von Rechenschritten braucht. Ein programmierbarer Taschenrechner oder PC macht die unsichtbare Mathematik sichtbar. Fraktale lehren uns, dass einfache Regeln (eine Zeile Formel) zu unendlicher Komplexität führen können – genau wie die DNA den Bauplan für einen ganzen Menschen enthält.

Kontakt

Name: Adelard Armino - ChatGPTDeutsch.Info Adelard Armino - ChatGPT Deutsch

Telefon: +49 15227788154

E-Mail: adelardarmino@chatgptdeutsch.info

Adresse: Limmerstraße 13, 30451 Hannover, Deutschland